Velocidade Angular

Rafael C. Asth

Professor de Matemática e Física

Velocidade angular é uma grandeza que mede a rapidez com que é feito um percurso em sentido circular. Ela é representada pela letra grega ômega minúscula (ω).

Como calcular a velocidade angular

Para calcular a velocidade angular é preciso dividir o deslocamento angular pela variação de tempo.

Fórmula da velocidade angular

$começar estilo tamanho matemático 18px reto ómega com reto m subscrito igual a Δφ sobre Δt fim do estilo$

Onde,
ω_m: velocidade angular média
Δφ: variação do deslocamento angular
Δt: variação do tempo ( $t com f i n a l subscrito fim do subscrito menos t com i n i c i a l subscrito fim do subscrito$ )

A unidade do sistema internacional (SI) é rad/s (radiano por segundo).

A variação ou deslocamento angular $fi$ , é a razão entre o deslocamento escalar S que o móvel percorreu na trajetória curvilínea, e o raio da circunferência R.

$reto fi igual a reto S sobre reto R$

Veja que no caso particular em que S = R, o deslocamento valerá 1 rad. (1 radiano).

Outra consideração a ser feita é para os casos em que S representa uma volta completa, ou 360º. Neste caso, o deslocamento escalar é o perímetro da circunferência, ou $2 pi R$ .

Desta maneira temos que:

$reto fi igual a reto S sobre reto R igual a numerador 2 pi R sobre denominador R fim da fração igual a 2 pi espaço r a d$

Período e frequência

A velocidade angular se relaciona com o período T, tempo para realizar uma volta completa ou $2 pi$ e, a frequência, quantidade de ciclos por unidade de tempo, por:

$reto ómega igual a numerador 2 reto pi sobre denominador reto T fim da fração igual a 2 reto pi espaço. espaço reto f$

A unidade de medida de frequência, não padronizada pelo SI, é o rpm (rotações por minuto). Na prática, muitas vezes é utilizado o rpm.

E a Velocidade Escalar?

Velocidade escala, linear ou tangencial é a grandeza que mede a rapidez com que é feita uma trajetória. A velocidade escalar é obtida através da razão entre a variação do espaço e do tempo.

Por isso, a fórmula para calcular a velocidade escalar média, ou seja, o deslocamento em um determinado período é:

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$reto V igual a ΔS sobre Δt$

Também temos que $delta maiúsculo fi igual a numerador delta maiúsculo S sobre denominador R fim da fração espaço$ , de forma que $delta maiúsculo S igual a delta maiúsculo fi espaço. espaço R$ . Substituindo na fórmula da velocidade escalar média:

$bold italic V igual a ΔS sobre Δt igual a numerador delta maiúsculo fi espaço. espaço R sobre denominador Δt fim da fração igual a numerador delta maiúsculo fi sobre denominador Δt fim da fração. espaço R espaço igual a espaço bold italic ómega negrito espaço negrito. negrito espaço bold italic R$

Exercícios de velocidade angular

Exercício 1

(FUVEST) Um restaurante é montado numa plataforma que gira com velocidade angular constante W p/1800 radianos/segundo. Um freguês, de massa M = 50 kg, senta-se no balcão localizando-se a 20 metros do eixo de rotação, toma sua refeição e sai no mesmo ponto de entrada.

a) qual o tempo mínimo de permanência do freguês na plataforma?

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Resposta correta: 1 hora

Considerando que o cliente deve permanecer pelo menos uma volta completa ou, um período T, o tempo mínimo de permanência é:

$T igual a numerador 2 pi sobre denominador ómega fim da fração igual a numerador 2 pi sobre denominador começar estilo mostrar pi sobre 1800 fim do estilo fim da fração igual a 2 diagonal para cima risco pi espaço. espaço numerador 1800 sobre denominador diagonal para cima risco pi fim da fração igual a 3 espaço 600 espaço s$

3 600 convertidos para hora:

$numerador 3 espaço 600 sobre denominador 60 fim da fração igual a 60 espaço m i n espaço igual a espaço 1 h$

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Exercício 2

(UEJF-MG) Um velocímetro comum de carro mede, na realidade, a velocidade angular do eixo da roda, e indica um valor que corresponde à velocidade do carro.

O velocímetro para um determinado carro sai da fábrica calibrado para uma roda de 20 polegadas de diâmetro (isso inclui o pneu).

Um motorista resolve trocar as rodas do carro para 22 polegadas de diâmetro. Assim, quando o velocímetro indica 100 km/h, a velocidade real do carro é:

a) 100 km/h
b) 200 km/h
c) 110 km/h
d) 90 km/h
e) 160 km/h

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c) 110 km/h

A velocidade angular e a velocidade do eixo se relacionam por:

$V igual a ómega espaço. espaço R$

Considerando a velocidade angular a mesma, antes e depois da troca, o velocímetro marcará a mesma velocidade pois, o dispositivo depende apenas desta grandeza.

No entanto, a velocidade tangencial irá mudar, pois é diretamente proporcional ao raio. O aumento de 20 para 22 polegadas representa 10%.

Desta forma, a velocidade real será 10% maior, ou seja, 110 km/h.

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Exercício 3

(UNIFESP-SP) Três corpos estão em repouso em relação ao solo, situados em três cidades: Macapá, localizada na linha do Equador, São Paulo, no trópico de Capricórnio, e Selekhard, na Rússia, localizada no círculo Pólar Ártico.

Pode-se afirmar que esses três corpos giram em torno do eixo da Terra descrevendo movimentos circulares uniformes, com

A) as mesmas frequência e velocidade angular, mas o corpo localizado em Macapá tem a maior velocidade tangencial.
B) as mesmas frequência e velocidade angular, mas o corpo localizado em São Paulo tem a maior velocidade tangencial.
C) as mesmas frequência e velocidade angular, mas o corpo localizado em Selekhard tem a maior velocidade tangencial.
D) as mesmas frequência, velocidade angular e velocidade tangencial, em qualquer cidade.
E) frequência, velocidade angular e velocidade tangencial diferentes entre si, em cada cidade.

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A) as mesmas frequência e velocidade angular, mas o corpo localizado em Macapá tem a maior velocidade tangencial.

As frequências são iguais pois, os três corpos completam a mesma quantidade de ciclos na mesma unidade de tempo. Cada um dos corpos completa uma volta a cada dia.

A velocidade angular é a mesma pois, trata-se da razão entre o deslocamento angular, que é o mesmo, e o intervalo de tempo.

$ómega igual a numerador delta maiúsculo fi sobre denominador delta maiúsculo t fim da fração$

O deslocamento angular por sua vez, é a razão entre o arco e o raio. $delta maiúsculo fi igual a S sobre R$ , por isso, mesmo que o arco S seja maior, o raio também aumenta proporcionalmente.

A velocidade tangencial é diferente para os três corpos pois, ela é proporcional ao raio. Uma vez que a velocidade angular é constante, aumentando o raio a velocidade aumenta.

$V igual a ómega. R$

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