🚀 Ferramentas de estudo por menos de R$1/dia

Quer mais? Acesso ilimitado por R$ 29,90/mês

Função Exponencial

Função Exponencial é aquela que a variável está no expoente e cuja base é sempre maior que zero e diferente de um.

Essas condições são necessárias para bem definir a função, pois 1 elevado a qualquer número resulta em 1. Assim, em vez de exponencial, estaríamos diante de uma função constante.

Além disso, a base não pode ser negativa, nem igual a zero, pois para alguns expoentes a função não estaria definida.

Por exemplo, a base igual a - 3 e o expoente igual a 1/2. Como no conjunto dos números reais não definimos a raiz quadrada de número negativo, isto é, não existiria imagem da função para esse valor.

Exemplos:

$f parêntese esquerdo x parêntese direito igual a 4 à potência de x g parêntese esquerdo x parêntese direito igual a abre parênteses 0 vírgula 1 fecha parênteses à potência de x h parêntese esquerdo x parêntese direito igual a abre parênteses 2 sobre 3 fecha parênteses à potência de x$
Nos exemplos acima $4 ponto e vírgula espaço 0 vírgula 1$ e $2 sobre 3$ são as bases, enquanto $x$ é o expoente.

Gráfico da função exponencial

O gráfico desta função passa pelo ponto $abre parênteses 0 vírgula 1 fecha parênteses$ , pois todo número elevado a zero é igual a 1. Além disso, a curva exponencial não toca no eixo $x$ .

Na função exponencial a base é sempre maior que zero, portanto a função terá sempre imagem positiva. Assim sendo, não apresenta pontos nos quadrantes III e IV (imagem negativa).

Abaixo representamos o gráfico da função exponencial.

Importante!

Apenas as funções da forma $f parêntese esquerdo x parêntese direito igual a a à potência de b x fim do exponencial vírgula espaço a vírgula b pertence reto números reais vírgula espaço a maior que 0$ e $a não igual 1$ tem a propriedade de passar pelo ponto $abre parênteses 0 vírgula 1 fecha parênteses$ . Se a função exponencial sofrer qualquer outra transformação ou composição com outro tipo de função esse fato não ocorrerá. Por exemplo, a função $f parêntese esquerdo x parêntese direito igual a 2 à potência de x menos 1 fim do exponencial$ , passa pelo ponto $abre parênteses 0 vírgula 1 meio fecha parênteses$ , pois seu gráfico sofre uma translação horizontal de 1 unidade para direita.

Função crescente ou decrescente

A função exponencial $f parêntese esquerdo x parêntese direito igual a a à potência de x$ pode ser crescente ou decrescente.

Remover anúncios

Será crescente quando a base for maior que 1, ou seja, para $a maior que 1$ . Por exemplo, a função $y igual a 2 à potência de x$ é uma função crescente.

Para construir o gráfico dessa função e verificar que ela é crescente, atribuímos alguns valores para $x$ no expoente da função e encontramos a sua imagem. Os valores encontrados estão na tabela abaixo.

Observando a tabela, notamos que quando aumentamos o valor de $x$ , a sua imagem também aumenta. Abaixo, representamos o gráfico desta função.

Por sua vez, as funções cujas bases são valores maiores que zero e menores que 1, isto é, $0 menor que a menor que 1$ são decrescentes. Por exemplo, $y igual a abre parênteses 1 meio fecha parênteses à potência de x$ é uma função decrescente.

Calculamos a imagem de alguns valores de $x$ e o resultado encontra-se na tabela abaixo.

Notamos que para esta função, enquanto os valores de x aumentam, os valores das respectivas imagens diminuem. Desta forma, constatamos que a função é uma função decrescente.

Com os valores encontrados na tabela, traçamos o gráfico dessa função. Note que quanto maior o $x$ , mais perto do zero a curva exponencial fica.

Função logarítmica

A inversa da função exponencial é a função logarítmica. A função logarítmica é definida como $f parêntese esquerdo x parêntese direito igual a log com b subscrito abre parênteses x fecha parênteses$ , com $b pertence reto números reais vírgula espaço b maior que 0$ e $b não igual 1$ .

Sendo, o logaritmo de um número definido como o expoente ao qual se deve elevar a base $b$ para obter o número $x$ , ou seja:

$y igual a log com b subscrito abre parênteses x fecha parênteses seta dupla para a esquerda e para a direita b à potência de y igual a x$

Uma relação importante é que o gráfico de duas funções inversas são simétricos em relação a bissetriz dos quadrantes I e III.

Desta maneira, conhecendo o gráfico da função exponencial de mesma base, por simetria podemos construir o gráfico da função logarítmica.

Remover anúncios

No gráfico acima, observamos que enquanto a função exponencial cresce rapidamente, a função logarítmica cresce lentamente.

Mapa Mental

Mapa metnal sobre função exponencial. — Clique para aumentar.

Exercícios

Questão 1

(Unit-SE) Uma determinada máquina industrial se deprecia de tal forma que seu valor, t anos após a sua compra, é dado por v(t) = v₀ . 2 ^-0,2t, em que v₀ é uma constante real.

Se, após 10 anos, a máquina estiver valendo R$ 12 000,00, determine o valor que ela foi comprada.

Ver Resposta

Sabendo que v(10) = 12 000:
v(10) = v₀. 2 ^{-0,2 . 10}
12 000 = v₀ . 2 ^-2
12 000 = v₀ . 1/4
12 000 .4 = v₀
v0 = 48 000

O valor da máquina quando ela foi comprada era de R$ 48 000,00.

Questão 2

(PUCC-SP) Numa certa cidade, o número de habitantes, num raio de r km a partir do seu centro é dado por P(r) = k . 2^3r, em que k é constante e r > 0.

Remover anúncios

Se há 98 304 habitantes num raio de 5 km do centro, quantos habitantes há num raio de 3 km do centro?

Ver Resposta

P(r) = k . 2^3r
98 304 = k . 2^3.5
98 304 = k . 2¹⁵
k = 98 304/2¹⁵

P (3) = k. 2^3.3
P (3) = k . 2⁹
P (3) =( 98 304/2¹⁵ ). 2⁹
P (3) = 98 304/2⁶
P(3) = 1536

1536 é o número de habitantes num raio de 3 km do centro.

Questão 3

Em um certo experimento foi constatado que o número de bactérias de uma certa cultura triplica a cada 2 horas, Sabendo que o número de bactérias no início do experimento era de 500. Após quantas horas a cultura terá 13500 bactérias?

Ver Resposta

Solução!

Inicialmente devemos construir a função, como a quantidade de bactérias inicial é 500 e triplica a cada 2 horas podemos modelar a seguinte função exponencial:

$N parêntese esquerdo t parêntese direito igual a N com 0 subscrito sinal de multiplicação 3 à potência de t sobre 2 fim do exponencial N parêntese esquerdo t parêntese direito igual a 500 sinal de multiplicação 3 à potência de t sobre 2 fim do exponencial$

onde $N parêntese esquerdo t parêntese direito$ é o número de bactérias após $t$ horas

Como queremos o tempo $t$ para que $N parêntese esquerdo t parêntese direito igual a 13500$ .

$13500 igual a 500 sinal de multiplicação 3 à potência de t sobre 2 fim do exponencial 3 à potência de t sobre 2 fim do exponencial igual a 27 igual a 3 ao cubo t sobre 2 igual a 3 t igual a 6 espaço h o r a s$

Remover anúncios

Questão 4

Um isótopo radioativo possui massa inicial $M com 0 subscrito igual a 512 espaço g$ e sua meia vida corresponde a $40 espaço a n o s$ . Quantos anos levará para que a massa desse isótopo seja a oitava parte da massa inicial?

Ver Resposta

Solução!

Podemos modelar este problema a partir de uma função exponencial.

$M parêntese esquerdo t parêntese direito igual a 512 sinal de multiplicação abre parênteses 1 meio fecha parênteses à potência de t sobre 40 fim do exponencial$

A oitava parte da massa inicial é dada por:

$512 sobre 8 igual a 2 à potência de 9 sobre 2 ao cubo igual a 2 à potência de 6 igual a 64 espaço g$

Substituindo na função:

$64 igual a 512 sinal de multiplicação abre parênteses 1 meio fecha parênteses à potência de t sobre 40 fim do exponencial abre parênteses 1 meio fecha parênteses à potência de t sobre 40 fim do exponencial igual a 64 sobre 512 igual a abre parênteses 1 meio fecha parênteses ao cubo t sobre 40 igual a 3 t igual a 120 espaço a n o s$

Questão 5

Corretor de Redação para o Enem

Exercícios exclusivos

Estude sem publicidade

Siga os seus estudos com:

Referências Bibliográficas

CANELLAS, William. Matemática para o infinito e além: volume 2. São Paulo: Clube de Autores, 2020.

DANTE, Luiz Roberto; VIANA, Fernando. Matemática: contexto e aplicações. 3. ed. São Paulo: Ática, 2016.

IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de matemática elementar: volume 2: logaritmos. 10. ed. São Paulo: Atual, 2013.

PAIVA, Manoel. Matemática: ensino médio: volume 2. São Paulo: Moderna, 2011.

Remover anúncios