Exercícios sobre tronco de pirâmide (com gabarito resolvido e explicado)

No município de Brotas, interior de São Paulo, conhecido por sua forte vocação para o ecoturismo e a preservação ambiental, foi inaugurado recentemente um parque ecológico inovador.

Para melhorar a experiência dos visitantes e oferecer informações sobre a fauna, flora e a importância da conservação, os gestores do parque decidiram construir um centro de informações com um design moderno e sustentável.

Pensando nisso, uma empresa de arquitetura especializada em construções ecológicas foi contratada para projetar uma estrutura em forma de pirâmide.

A ideia era criar um espaço que dialogasse com o ambiente natural, valorizando formas geométricas que remetem à simplicidade e harmonia da natureza.

A pirâmide terá 12 metros de altura e sua base será um pentágono regular. Para criar um espaço interno diferenciado, os arquitetos decidiram dividir a pirâmide em duas partes por meio de um plano paralelo à base, localizado a 4 metros do vértice da estrutura.

Sabe-se que a área da seção transversal criada por esse plano é igual a 8 metros quadrados.

Com base nesses dados, determine o volume do tronco da pirâmide, em metros cúbicos, formado entre a base e o plano paralelo ao vértice.

Após os incêndios de 2020 que devastaram importantes áreas de cultivo experimental no interior de São Paulo, pesquisadores de uma universidade pública decidiram desenvolver uma estufa sustentável para proteger e recuperar as plantações.

Para isso, optaram por utilizar materiais reciclados, como estrutura metálica reaproveitada e placas de vidro, com o objetivo de reduzir o impacto ambiental e aumentar a eficiência energética do projeto.

A estufa foi projetada no formato de um tronco de pirâmide de base quadrada, unindo modernidade e sustentabilidade. A base maior tem lado de 12 metros, enquanto a base menor, localizada no topo da estrutura, mede 6 metros. A altura vertical da estufa é de 4 metros.

A área envidraçada da estufa corresponde exclusivamente às suas faces laterais, que são trapézios isósceles.

Com base nesses dados, qual é a área total de vidro utilizada nas faces laterais da estufa?

No sul do Brasil, onde a agricultura familiar é fundamental para o sustento de muitas comunidades.

O governo e organizações locais têm incentivado o uso de tecnologias sustentáveis para otimizar a armazenagem e preservação dos alimentos.

Recentemente, famílias integrantes de um programa de agricultura familiar passaram a utilizar silos modulares inovadores, com formatos geométricos que facilitam o transporte, montagem e resistência.

Um desses modelos é um silo em formato de tronco de pirâmide com base hexagonal regular, que alia praticidade e eficiência para o armazenamento de grãos.

Sabendo que as arestas das bases estão na razão de 5 para 7, a base maior possui área igual a 49 m² e a altura do silo é de 9 metros.

Os agricultores querem calcular o volume total desse silo para planejar a capacidade de armazenamento.

Com base nesses dados, qual é o volume, em litros, desse silo?

No Vale do Jequitinhonha, em Minas Gerais, uma região conhecida por sua rica cultura artesanal e pelo talento das comunidades locais, artesãs têm buscado formas sustentáveis e criativas de produzir objetos decorativos.

Utilizando restos de madeira de demolição, elas confeccionam vasos decorativos que valorizam o reaproveitamento de materiais e a tradição manual da região.

Um dos modelos mais populares desses vasos tem o formato de um tronco de pirâmide de base quadrada, combinando simplicidade e elegância.

A base maior do vaso possui lado de 10 cm, enquanto a base menor, no topo, mede 6 cm. A altura do vaso é de 12 cm.

Considerando essas dimensões, qual é o volume interno desse vaso, em centímetros cúbicos?

Durante a São Paulo Fashion Week, um dos maiores eventos de moda do Brasil, a renomada estilista baiana Isa Isaac encantou o público com uma coleção inspirada na riqueza da cultura afro-brasileira.

As peças da coleção combinavam elementos tradicionais com design contemporâneo, trazendo uma forte valorização das formas geométricas em suas modelagens.

Uma das peças mais elogiadas do desfile foi uma saia conceitual, confeccionada com base no formato de um tronco de pirâmide de base quadrada. O uso dessa forma buscou representar a solidez das raízes culturais aliada à leveza da moda atual.

Na modelagem da saia, a base inferior da pirâmide possui perímetro de 180 cm, enquanto a base superior apresenta perímetro de 90 cm. A altura dos trapézios que formam as faces laterais da saia mede 50 cm.

Considerando que a saia é composta por 4 faces laterais em formato de trapézio, calcule a área total de tecido utilizada nessas faces laterais.

Durante o programa “Wi-Fi Brasil”, o governo federal investiu na instalação de torres de sinal de internet para conectar mais de 10 mil comunidades rurais.

Uma dessas torres possui um formato geométrico de tronco de pirâmide com bases pentagonais regulares, sendo que as bases podem ser inscritas em circunferências de raios 4 metros (base menor) e 6 metros (base maior).

A instalação dessas torres visa garantir cobertura eficiente em regiões onde a topografia exige estruturas adaptadas para diferentes alturas.

Sabe-se que a área de um pentágono regular inscrito em uma circunferência de raio R pode ser aproximada por:

Considerando que o volume da torre em formato de tronco de pirâmide é 1140 m³, calcule a altura aproximada da torre, em metros.

A indústria brasileira de cosméticos é uma das maiores do mundo no ranking de gastos com cosméticos e tem investido fortemente em inovação e design para se destacar no mercado internacional.

Uma empresa paulista, conhecida por valorizar a cultura e sustentabilidade locais, desenvolveu uma linha exclusiva de perfumes inspirada nas formas geométricas encontradas na arte indígena brasileira.

Para simbolizar a harmonia entre tradição e modernidade, a embalagem do perfume foi cuidadosamente projetada no formato de um tronco de pirâmide com base triangular regular. Essa escolha geométrica não só confere elegância ao produto, como também facilita seu transporte e armazenamento.

A base maior da embalagem é um triângulo equilátero de lado , enquanto a base menor, também triangular regular, possui lados de . A altura da embalagem é de .

Sabendo que a área de um triângulo equilátero de lado "a" é dada por:

Como a embagem deve conter apenas 5/6 de seu volume total. Calcule o volume de perfume desta embalagem, em mililitros.