Exercícios sobre o Teorema de Stevin (com respostas explicadas)

Resposta correta: alternativa c) P₁ = P₂ ＞ P₃

O Teorema de Stevin estabelece que a pressão hidrostática em um fluido homogêneo em repouso depende da profundidade, da densidade do fluido e da aceleração da gravidade.

Além disso, temos que para um mesmo fluido contínuo e em repouso, pontos situados no mesmo nível horizontal possuem a mesma pressão.

Por fim, a pressão total é a soma da pressão atmosférica com a pressão hidrostática.

Vamos primeiro comparar P₁ e P₂

Os pontos P₁ e P₂ estão ambos situados na base dos vasos, ou seja, à mesma profundidade H a partir da superfície livre do líquido.

Os vasos contêm o mesmo líquido e estão abertos à mesma pressão atmosférica na superfície. Pelo Teorema de Stevin, as pressões hidrostáticas serão:

• Em P₁ será P_hidro,1 = ρ ⋅ g ⋅ H
• Em P₂ será P_hidro,2 = ρ ⋅ g ⋅ H

Portanto, a pressão total em P₁ é igual à pressão total em P_hidro,1 visto que o enunciado diz que os vasos estão abertos à atmosfera. A forma dos vasos não influencia a pressão em uma dada profundidade. Assim, P₂ = P_hidro,2 .

Vamos agora comparar P₁ com P_hidro,1 e P₂

O ponto P_hidro,2 está situado a uma profundidade h no vaso cilíndrico, onde foi estabelecido que h ＜ H.

A pressão hidrostática em P₁ será dada por:

P₂= ρ ⋅ g ⋅ h

Como h ＜ H, e a pressão aumenta com a profundidade, a pressão hidrostática em P₁ será menor do que a pressão hidrostática em P₂ e P₃.

Portanto, a pressão total em P₁ é menor do que a pressão total em P₂ e em P₃.

Assim, P₃ ＜ P_hidro3 e P₃ ＜ P₁.

Combinando as duas análises, temos que P₂ = P₃ ＞ P₁.

Resposta correta: alternativa a) P₂ ＜ P₁ = P₃

O Teorema de Stevin afirma que a pressão em um fluido homogêneo e incompressível em repouso varia linearmente com a profundidade. Assim, pontos em um mesmo nível horizontal dentro desse fluido possuem a mesma pressão.

A pressão total é a soma da pressão atmosférica sobre a superfície livre do líquido e da pressão hidrostática (que depende da profundidade, densidade do fluido e aceleração da gravidade).

Vamos analisar a profundidade de cada ponto em relação à superfície da água:

• P₁: Está localizado no centro do fundo da piscina. A profundidade da piscina é de 3 metros. Portanto, a profundidade de P₁ é h₁ = 3 m.
• P₂: Está localizado a 1 metro de profundidade na parede lateral. Portanto, a profundidade de P₂ é h₂ = 1 m.
• P₃: Está localizado no canto do fundo da piscina, junto à parede lateral. A profundidade da piscina é de 3 metros. Portanto, a profundidade de P₃ é h₃ = 3 m.

Vamos comparar as pressões nos três pontose usando o Teorema de Stevin:

Comparando P₁ e P₁: Ambos os pontos (P₁ e P₂) estão na profundidade de 3 m. Como estão no mesmo fluido (água) e no mesmo nível horizontal, a pressão total em P₂ é igual à pressão total em P₂ , ou seja, P₃ = P₃.

Comparando P₃ com P₁ e P₁: O ponto P₁ está a uma profundidade de 1m, enquanto P₂ e P₂ estão a 3 m. Como a pressão hidrostática aumenta com a profundidade, e P₂ está a uma profundidade menor que P₃ e P₃, a pressão total em P₃ será menor que a pressão total em P₁ e P₃, ou seja, P₁ ＜ P₃ e P₁ ＜ P₃

Combinando as duas relações, temos que P₁ é a menor pressão, e P₃ e P₂ são iguais e maiores que P₁, ou seja, P₃ ＜ P₂ = P₁.

Resposta correta: alternativa b) 1,46 . 10⁵ Pa.

A pressão total na base do tanque será a soma da pressão atmosférica com as pressões hidrostáticas exercidas por cada camada de líquido. O Teorema de Stevin nos diz que a pressão hidrostática de uma coluna de fluido é dada por

P_hidro = ρ ⋅ g ⋅ h, onde ρ é a densidade do fluido, g é a aceleração da gravidade e h é a altura da coluna de fluido.

Vamos primeiro calcular cada pressão separadamente e depois vamos somar todas para encontrar a pressão na base interna do tanque.

1. Pressão devido à camada de óleo. A pressão hidrostática exercida pelo óleo é dada por:

P_óleo = ρ_óleo ⋅ g ⋅ h_óleo

P_óleo = 800 kg/m³ ⋅ 10 m/s² ⋅ 2,0 m

P_óleo = 16000 Pa

2. Pressão devido à camada de água. A pressão hidrostática exercida pela água é dada por:

P_água = ρ_água ⋅ g ⋅ h_água

P_água = 1000 kg/m³ ⋅ 10 m/s² ⋅ 3,0 m

P_água = 30000 Pa

3. Agora vamos determinar a pressão total na base do tanque. Ela é a soma da pressão atmosférica com as pressões hidrostáticas de ambas as camadas, ou:

P_total = P_atm + P_óleo + P_água

P_total = 1,0 . 10⁵ Pa + 16000 Pa + 30000 Pa

P_total = 100000 Pa + 16000 Pa + 30000 Pa

P_total = 146000 Pa

Escrevendo em notação científica, temos:

P_total = 1,46 . 10⁵ Pa

Resposta correta: alternativa d) 1,0272 . 10⁵ Pa.

O Teorema de Stevin afirma que, em um fluido homogêneo e em repouso, a pressão é a mesma em todos os pontos de um mesmo nível horizontal. Para resolver problemas com manômetros em "U", escolhemos um nível de referência na interface entre o fluido e o gás, ou no ponto mais baixo do fluido contínuo, e igualamos as pressões nesse nível.

Vamos primeiro identificar o nível de referência. No nosso caso, o nível de mercúrio mais baixo é no braço esquerdo, onde h_esq = 18 cm. Vamos usar este nível de 18 cm da base como nossa linha de referência horizontal para igualarmos as pressões.

Vamos agora converter as unidades, pois as alturas devem ser convertidas para metros:

• h_esq = 18 cm = 0,18 m
• h_dir = 20 cm = 0,20 m

Vamos calcular a pressão no lado esquerdo que está conectado ao gás no nível de referência. No nível de referência a 0,18 m da base, a pressão exercida é diretamente a pressão do gás, pois ele atua na superfície do mercúrio neste ponto. Então:

P_esq = P_dir

Vamos agora calcular a pressão no lado direito que está aberto à atmosfera no nível de referência. No lado direito, a pressão no nível de referência a 0,18 m da base é a soma da pressão atmosférica (P_esq ) com a pressão hidrostática da coluna de mercúrio que está acima desse nível.

A altura da coluna de mercúrio acima do nível de referência no braço direito é:

Δh = h_gás− h_atm= 0,20 m − 0,18 m = 0,02 m

A pressão hidrostática dessa coluna de mercúrio é:

P_dir = ρ_esq ⋅ g ⋅ Δh

P_hidro = 13600 kg/m³ ⋅ 10 m/s² ⋅ 0,02 m

P_mercúrio = 2720 Pa

A pressão total no lado direito, no nível de referência, é:

P_hidro = P_hidro + P_dir

P_atm = 1,0 . 10⁵ Pa + 2720 Pa

P_hidro= 100000 Pa + 2720 Pa

P_dir = 102720 Pa

Vamos agora igualar as pressões nos dois lados no nível de referência. Pelo Teorema de Stevin, P_dir = P_dir

P_esq = 102720 Pa

Convertendo para notação científica, temos:

P_dir= 1,0272 . 10⁵ Pa

Resposta correta: alternativa c) 7,20 . 10⁴ Pa.

O Teorema de Stevin estabelece que a pressão hidrostática em um fluido homogêneo e em repouso varia linearmente com a profundidade ou altura, no caso da atmosfera. A pressão diminui à medida que a altitude aumenta.

A fórmula básica para a pressão em uma dada altura h acima do nível do mar, onde a pressão é P₀) pode ser expressa como:

P_h = P₀ − ρ_ar ⋅ g ⋅ h

Neste problema, estamos considerando uma densidade média do ar, o que nos permite aplicar essa relação de forma simplificada.

Vamos primeiro calcular a pressão externa à aeronave ou P_exterior. O enunciado trouxe que a aeronave está a uma altitude de h_exterior = 10.000 m.

P_exterior = P₀ − ρ_ar ⋅ g ⋅ h_exterior

P_exterior = 1,01 . 10⁵ Pa − (0,90 kg/m³ ⋅ 10 m/s² ⋅ 10.000 m)

P_exterior = 101.000 Pa − (9 Pa/m ⋅ 10.000 m)

P_exterior = 101.000 Pa − 90.000 Pa

P_exterior = 11.000 Pa

Vamos agora calcular a pressão interna da cabine ou P_interior. A cabine é pressurizada para uma pressão equivalente à de h_{interior_eq} = 2.000 m acima do nível do mar.

P_interior = P₀ − ρ_ar ⋅ g ⋅ h_{interior_e}

P_interior = 1,01 . 10⁵ Pa − (0,90 kg/m³ ⋅ 10 m/s² ⋅ 2.000 m)

P_interior = 101.000 Pa − (9 Pa/m ⋅ 2.000 m)

P_interior = 101.000 Pa − 18.000 Pa

P_interior = 83.000 Pa

Vamos então calcular a diferença de pressãolembrando que ela é igual a diferença entre a pressão interna e a pressão externa. É a pressão que a fuselagem precisa suportar.

ΔP = P_interior − P_exterior

ΔP = 83.000 Pa − 11.000 Pa

ΔP = 72.000 Pa

Convertendo para notação científica, temos:

ΔP = 7,20 . 10⁴ Pa

Resposta correta: alternativa b) V – V – F

Para analisar as afirmativas, vamos calcular as pressões nos pontos de referência e as variações propostas, utilizando o Teorema de Stevin e P_hidro = ρ ⋅ g ⋅ h.

O enunciado trouxe os seguintes dados:

• P_gás = 1,2 . 10⁵ Pa
• ρ_óleo = 800 kg/m³
• h_óleo = 2,5 m
• ρ_água = 1000 kg/m³
• h_água = 2,0 m
• g = 10 m/s²

Vamos analisar cada uma das afirmativas:

Afirmativa I. O Ponto L está na interface óleo/água. A pressão nesse ponto é a soma da pressão do gás e da pressão hidrostática da coluna de óleo acima dele.

A pressão no Ponto K é igual à pressão do gás: P_gás = P_óleo = 1,2 . 10⁵ Pa

A pressão hidrostática da camada de óleo é:

P_óleo = ρ_água ⋅ g ⋅ h_água

P_K = 800 kg/m³ ⋅ 10 m/s² ⋅ 2,5 m

P_gás = 20000 Pa

A pressão total no Ponto L é igual a:

P_hidro,óleo = P_óleo + P_óleo

P_hidro,óleo = 1,2 . 10⁵ Pa + 20000 Pa

P_hidro,óleo = 120000 Pa + 20000 Pa = 140000 Pa

P_L = 1,40 . 10⁵ Pa

Portanto, a afirmativa I é Verdadeira.

Afirmativa II. O Ponto M está na base do tanque. A pressão total em M é dada por: P_K = P_hidro,óleo+ P_L

Primeiro, vamos calcular a pressão hidrostática original da camada de água, dada por:

P_L = ρ_L ⋅ g ⋅ h_M

P_L = 1000 kg/m³ ⋅ 10 m/s² ⋅ 2,0 m

P_hidro,água= 20000 Pa

Se a altura da água duplicasse para h_{hidro,água_original} = 4,0 m, a pressão ficaria:

P_água = ρ_{água_original}⋅ g ⋅ h_{hidro,água_original}

P_{hidro,água_original} = 1000 kg/m³ ⋅ 10 m/s² ⋅ 4,0 m

P_{água_nova} = 40000 Pa

O aumento na pressão total no Ponto M seria a diferença na pressão hidrostática da água, pois as camadas de gás e óleo permanecem inalteradas, e a pressão em L não se alteraria (apenas a profundidade da base).

Aumento = P_{hidro,água_nova} − P_água

Aumento = 40000 Pa − 20000 Pa = 20000

Aumento = 2,0 . 10⁴ Pa

Portanto, a afirmativa II é Verdadeira (V).

Alternativa III. O Ponto K está na interface gás/óleo e sua pressão é P_{água_nova}= 1,2 . 10⁵ Pa. O Ponto L está na interface óleo/água e sua pressão é P_{hidro,água_nova}= 1,40 . 10⁵ Pa, conforme calculado na afirmativa I.

Vamos comparar as pressões:

P_{hidro,água_nova} = 1,2 . 10⁵ Pa

P_{hidro,água_nova} = 1,4 . 10⁵ Pa

Como 1,2 . 10⁵ Pa ＜ 1,4 . 10⁵ Pa, a pressão no Ponto K é menor que a pressão no Ponto L, e não maior. A pressão em um fluido em repouso sempre aumenta com a profundidade.

Portanto, a afirmativa III é Falsa (F).

E a sequência correta é: V – V – F.

Resposta correta: alternativa d) V – V – F

Vamos calcular as pressões relevantes para cada veículo e, em seguida, analisar as afirmativas.

1. Cálculos para o Submarino:

Pressão externa = P_{ext_sub}: A pressão aumenta com a profundidade.

P_{ext_sub} = P₀ + ρ_{água_salgada} ⋅ g ⋅ H_sub

P_{ext_sub} = 1,0 . 10⁵ Pa + (1030 kg/m³ ⋅ 10 m/s² ⋅ 200 m)

P_{ext_sub} = 100000 Pa + 2060000 Pa = 2160000 Pa

Pressão interna = P_{int_sub}: Dada como 1,0 . 10⁵ Pa

Diferença de pressão = ΔP_sub:

ΔP_sub = P_{ext_sub} − P_{int_sub} = 2160000 Pa − 100000 Pa = 2060000 Pa

2. Cálculos para o Avião:

Pressão externa = P_{ext_avião}: A pressão diminui com a altitude.

P_{ext_avião} = P₀ − ρ_{ar_média} ⋅ g ⋅ H_avião

P_{ext_avião} = 1,0 . 10⁵ Pa − (0,9 kg/m³ ⋅ 10 m/s² ⋅ 10000 m)

P_{ext_avião} = 100000 Pa − 90000 Pa = 10000 Pa

Pressão interna da cabine = P_{int_cabine}: Equivalente à pressão a 2.000 m de altitude.

P_{int_cabine} = P₀ − ρ_{ar_média} ⋅ g ⋅ H_{cabine_eq}

P_{int_cabine} = 1,0 . 10⁵ Pa − (0,9 kg/m³ ⋅ 10 m/s² ⋅ 2000 m)

P_{int_cabine} = 100000 Pa − 18000 Pa = 82000 Pa

Diferença de pressão = ΔP_avião:

ΔP_avião = P_{int_cabine} − P_{ext_avião} = 82000 Pa − 10000 Pa = 72000 Pa

3. Vamos agora analisar as Afirmativas:

Afirmativa I. A pressão externa total sobre o casco do submarino é aproximadamente 200 vezes maior do que a pressão externa total sobre a fuselagem do avião.

P_{ext_sub} = 2160000 Pa

P_{ext_avião} = 10000 Pa

Razão = 2160000 / 10000 = 216.

Aproximadamente 200 vezes é uma boa aproximação. Portanto, a afirmativa I é Verdadeira (V).

Afirmativa II. A diferença de pressão que a estrutura do submarino precisa suportar entre o ambiente externo e interno é aproximadamente 28,6 vezes maior do que a diferença de pressão que a fuselagem do avião suporta.

ΔP_sub = 2060000 Pa

ΔP_avião = 72000 Pa

Razão = 2060000 / 72000 ≈ 28,61

Aproximadamente 28,6 vezes. Portanto, a afirmativa II é Verdadeira (V).

Afirmativa III. Se o avião estivesse voando a uma altitude de apenas 500 metros e o submarino estivesse submerso a 5 metros de profundidade, a pressão externa sobre o submarino seria menor que a pressão externa sobre o avião.

Pressão externa sobre o avião a 500 m ou P_{ext_avião′} é dada por:

P_{ext_avião′} = P₀ − ρ_{ar_média} ⋅ g ⋅ 500 m

P_{ext_avião′} = 1,0 . 10⁵ Pa − (0,9 ⋅ 10 ⋅ 500) Pa

P_{ext_avião′} = 100000 Pa − 4500 Pa = 95500 Pa

Pressão externa sobre o submarino a 5 m = P_{ext_sub′}:

P_{ext_sub′} = P₀ + ρ_{água_salgada} ⋅ g ⋅ 5 m

P_{ext_sub′} = 1,0 . 10⁵ Pa + (1030 ⋅ 10 ⋅ 5) Pa

P_{ext_sub′} = 100000 Pa + 51500 Pa = 151500 Pa

Vamos então comparar as duas pressões:

P_{ext_sub′}= 151500 Pa é maior que P_{ext_avião′} = 95500 Pa

A afirmativa diz que a pressão sobre o submarino seria menor. Portanto, a afirmativa III é Falsa (F).

A sequência correta é: V – V – F.