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Exercícios sobre fração geratriz e dízima periódica

Rafael C. Asth

Professor de Matemática e Física

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Pratique transformar dízima periódica em fração geratriz. Consulte as resoluções passo a passo e tire suas dúvidas.

Questão 1

A fração geratriz da dízima periódica 0,33333 ... é

a) 11/2.
b) 5/2.
c) 1/3.
d) 2/3.
e) 7/5.

Ver Resposta

Resposta correta: c) 1/3.

O período, parte que se repete após a vírgula, é 3. Assim, a dízima pode ser escrita como: $0 vírgula 3 com barra sobrescrito$ .

Podemos resolver por dois métodos:

Método 1: fracionário

Somamos a parte inteira com uma fração, onde, no numerador estará o período e, no denominador, um algarismo 9 para cada algarismo diferente do período.

$0 espaço mais espaço 3 sobre 9$

Neste caso em específico, a parte inteira é zero, de forma que a resposta é $3 sobre 9$ ou, simplificado, $1 terço$ .

Método 2: algébrico

Passo 1: igualamos a dízima a x, obtendo a equação I.

$x igual a 0 vírgula 3 com barra sobrescrito espaço parêntese esquerdo e q u a ç ã o espaço I parêntese direito$

Passo 2: multiplicamos por 10 ambos os lados da equação, obtendo a equação II.

$10 espaço. espaço reto x igual a 10 espaço. espaço 0 vírgula 3 com barra sobrescrito 10 reto x igual a 3 vírgula 3 com barra sobrescrito espaço parêntese esquerdo e q u a ç ã o espaço I I parêntese direito$

Passo 3: subtraímos da equação II a equação I.

$Error converting from MathML to accessible text.$

Passo 4: Isolamos o x e encontramos a fração geratriz.

$x igual a 3 sobre 9$

Simplificando:

$x igual a 1 terço$

Questão 2

A fração geratriz da dízima periódica 1,44444 ... é

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a) 17/9.
b) 11/9.
c) 5/9.
d) 13/9.
e) 12/9.

Ver Resposta

Resposta correta: d) 13/9.

O período, parte que se repete após a vírgula, é 4. Assim, a dízima pode ser escrita como: $1 vírgula 4 com barra sobrescrito$ .

Podemos resolver por dois métodos:

Método 1: fracionário, também conhecido como prático.

Somamos a parte inteira com uma fração, onde no numerador estará o período e, no denominador, um algarismo 9 para cada algarismo diferente do período.

$1 espaço mais espaço 4 sobre 9 igual a 9 sobre 9 mais 4 sobre 9 igual a 13 sobre 9$

Método 2: algébrico.

Passo 1: igualamos a dízima a x, obtendo a equação I.

$reto x igual a 14 vírgula 4 com barra sobrescrito espaço parêntese esquerdo e q u a ç ã o espaço I parêntese direito$

Passo 2: multiplicamos por 10 ambos os lados da equação, obtendo a equação II.

$10 espaço. espaço reto x igual a 10 espaço. espaço 1 vírgula 4 com barra sobrescrito 10 reto x igual a 14 vírgula 4 com barra sobrescrito$

Passo 3: subtraímos da equação II a equação I.

$Error converting from MathML to accessible text.$

Passo 4: Isolamos o x e encontramos a fração geratriz.

$reto x igual a 13 sobre 9$

Questão 3

A fração geratriz de 0,414141 ... é

a) 41/99
b) 8/99
c) 7/9
d) 50/99
e) 76/99

Ver Resposta

Resposta correta: a) 41/99

O período, parte que se repete após a vírgula, é 41. Assim, a dízima pode ser escrita como: $0 vírgula 41 com barra sobrescrito$ .

Podemos resolver por dois métodos:

Método 1: fracionário ou prático.

Somamos a parte inteira com uma fração, onde no numerador estará o período e, no denominador, um algarismo 9 para cada algarismo diferente do período.

$0 espaço mais espaço 41 sobre 99 igual a 41 sobre 99$

Método 2: algébrico

Passo 1: igualamos a dízima a x, obtendo a equação I.

$reto x igual a 0 vírgula 41 com barra sobrescrito espaço parêntese esquerdo e q u a ç ã o espaço I parêntese direito$

Passo 2: multiplicamos por 100 ambos os lados da equação, obtendo a equação II. (pois há dois algarismos na dízima).

$100 espaço. espaço reto x igual a 100 espaço. espaço 0 vírgula 41 com barra sobrescrito 100 reto x igual a 41 vírgula 41 com barra sobrescrito espaço parêntese esquerdo e q u a ç ã o espaço I I parêntese direito$

Passo 3: subtraímos da equação II a equação I.

$Error converting from MathML to accessible text.$

Passo 4: Isolamos o x e encontramos a fração geratriz.

$x igual a 41 sobre 99$

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Questão 4

A fração geratriz de 2,5303030 ... na forma simplificada é:

a) 110/45
b) 140/41
c) 160/99
d) 167/66
e) 198/33

Ver Resposta

Resposta correta: d) 167/66.

Podemos reescrever como: $2 vírgula 5 30 com barra sobrescrito$ , onde 30 é o período. Esta é uma dízima composta.

Passo 1: igualar a x.

$reto x igual a 2 vírgula 5 30 com barra sobrescrito$

Passo 2: Multiplicar por 10 ambos os lados da equação, obtendo a equação I.

Como a dízima é composta, isto a transformará em simples.

$10 espaço. espaço reto x igual a 10 espaço. espaço 2 vírgula 5 30 com barra sobrescrito 10 reto x igual a 25 vírgula 30 com barra sobrescrito espaço parêntese esquerdo e q u a ç ã o espaço I parêntese direito$

Passo 3: multiplicar a equação I por 100 dos dois lados da igualdade, obtendo a equação II.

$100 espaço. espaço 10 reto x igual a 100 espaço. espaço 25 vírgula 30 com barra sobrescrito 1 espaço 000 reto x igual a 2 espaço 530 vírgula 30 com barra sobrescrito$

Passo 3: Subtrair a equação I da II.

$Error converting from MathML to accessible text.$

Passo 4: isolar o x.

$x igual a numerador 2 espaço 505 sobre denominador 990 fim da fração$

Esta fração já é a geratriz da dízima pois, ao dividir 2505 por 990 encontramos 2,5303030 ...

No entanto, o problema pede a forma simplificada.

Passo 5: simplificar.

Dividindo por 5 numerador e denominador:

$x igual a 501 sobre 198$

Dividindo por 3:

$x igual a 167 sobre 66$

Questão 5

Determine a fração geratriz de 2,0454545 ... na forma simplificada.

a) 210/33
b) 120/99
c) 135/66
d) 170/66
e) 198/11

Ver Resposta

Resposta correta: c) 135/66.

Podemos reescrever como: $2 vírgula 0 45 com barra sobrescrito$ , onde 45 é o período.

Passo 1: igualar a x.

$reto x igual a 2 vírgula 0 45 com barra sobrescrito$

Passo 2: multiplicar por 10 ambos os lados da equação, obtendo a equação I.

Como a dízima é composta, isto a transformará em simples.

$10 espaço. espaço reto x igual a 10 espaço. espaço 2 vírgula 0 45 com barra sobrescrito 10 reto x igual a 20 vírgula 45 com barra sobrescrito espaço parêntese esquerdo e q u a ç ã o espaço I parêntese direito$

Passo 3: multiplicar a equação I por 100 dos dois lados da igualdade, obtendo a equação II.

$100 espaço. espaço 10 reto x igual a 100 espaço. espaço 20 vírgula 45 com barra sobrescrito espaço 1 espaço 000 reto x igual a 2 espaço 045 vírgula 45 com barra sobrescrito espaço parêntese esquerdo e q u a ç ã o espaço I I parêntese direito$

Passo 3: Subtrair a equação I da II.

$Error converting from MathML to accessible text.$

Passo 4: isolar o x.

$x igual a numerador 2 espaço 025 sobre denominador 990 fim da fração$

Passo 5: simplificar.

Dividindo por 5, numerador e denominador.

$x igual a 405 sobre 198$

Dividindo por 3:

$x igual a 135 sobre 66$

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Questão 6

(EFOMM - 2021) Toda dízima periódica pode ser escrita em forma de sua fração geratriz. Considerando a fração geratriz 22229/27027, então o dígito que ocupará a 50ª casa decimal é

a) 2
b) 3
c) 4
d) 7
e) 8

Ver Resposta

Resposta correta: a) 2

Fazendo a divisão, encontramos:

$numerador 22 espaço 229 sobre denominador 27 espaço 027 fim da fração igual a 0 vírgula 822473 822473 822473 822473 espaço... espaço$

Perceba que a dízima pode ser reescrita como: $0 vírgula 822473 com barra sobrescrito$

O período se repete de 6 em 6 dígitos e, o múltiplo inteiro mais próximo da 50ª casa decimal será:

6 x 8 = 48

Assim, o algarismo 3, último do período, ocupará a 48ª casa decimal. Logo, na próxima repetição, o primeiro algarismo 2 ocupará a 50ª posição.

Questão 7

(BNB 2003) A expressão decimal 0,011363636... é uma dízima periódica composta e representa um número racional x. Se a geratriz desta dízima for escrita sob a forma de uma fração irredutível m/n, então m + n é igual a:

a) 88
b) 89
c) 90
d) 91
e) 92

Ver Resposta

Resposta correta: b) 89

É preciso determinar a fração geratriz e, após, simplificar e somar numerador e denominador.

Podemos reescrever como: $0 vírgula 011 36 com barra sobrescrito$ , onde 36 é o período.

Passo 1: igualar a x.

$reto x igual a 0 vírgula 011 36 com barra sobrescrito$

Passo 2: multiplicar por 1000 ambos os lados da equação, obtendo a equação I.

Como a dízima é composta, isto a transformará em simples.

$1000 espaço. espaço reto x igual a 1000 espaço. espaço 0 vírgula 011 36 com barra sobrescrito 1000 reto x igual a 11 vírgula 36 com barra sobrescrito espaço parêntese esquerdo e q u a ç ã o espaço I parêntese direito$

Passo 3: multiplicar a equação I por 100 dos dois lados da igualdade, obtendo a equação II.

$100 espaço. espaço 1000 reto x igual a 100 espaço. espaço 11 vírgula 36 com barra sobrescrito espaço 100 espaço 000 reto x igual a 1136 vírgula 36 com barra sobrescrito espaço parêntese esquerdo e q u a ç ã o espaço I I parêntese direito$

Passo 4: Subtrair a equação I da II.

$Error converting from MathML to accessible text.$

Passo 5: isolar o x.

$x igual a 1125 sobre 99000$

Uma vez determinada a fração geratriz, devemos simplificá-la. Dividindo numerador e denominador por 25, por 9 e, mais uma vez por 9.

$1125 sobre 99000 igual a numerador 45 sobre denominador 3.960 fim da fração igual a 9 sobre 792 igual a 1 sobre 88$

Assim, basta somar 1 + 88 = 89.

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Questão 8

(SESC - SE) Se a fração irredutível a/b é a geratriz da dízima 3,012012..., então o valor de a - b :

a) 670
b) 1809
c) 2010
d) 590
e) 540

Ver Resposta

Resposta correta: a) 670

É preciso determinar a fração geratriz e, após, simplificar e subtrair numerador e denominador.

Podemos reescrever como: $3 vírgula 012 com barra sobrescrito$ , onde 012 é o período.

Passo 1: igualar a x obtendo a equação I.

$reto x igual a 3 vírgula 012 com barra sobrescrito espaço parêntese esquerdo e q u a ç ã o espaço I parêntese direito$

Passo 2: multiplicar por 1000 ambos os lados da equação, obtendo a equação II.

$1 espaço 000 espaço. espaço reto x igual a 1 espaço 000 espaço. espaço 3 vírgula 012 com barra sobrescrito 1 espaço 000 reto x igual a 3 espaço 012 vírgula 012 com barra sobrescrito espaço parêntese esquerdo e q u a ç ã o espaço I I parêntese direito$

Passo 3: Subtrair a equação I da II.

$Error converting from MathML to accessible text.$

Passo 4: isolar o x e fazer a divisão.

$x igual a numerador 3 espaço 009 sobre denominador 999 fim da fração igual a 3 vírgula 012 com barra sobrescrito$

Uma vez determinada a fração geratriz, devemos simplificá-la. Dividindo numerador e denominador por 3.

$numerador 3 espaço 009 sobre denominador 999 fim da fração igual a numerador 1 espaço 003 sobre denominador 333 espaço fim da fração$

Assim, basta subtrair 1 003 - 333 = 670.

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Rafael C. Asth

Professor de Matemática licenciado, pós-graduado em Ensino da Matemática e da Física e Estatística. Atua como professor desde 2006 e cria conteúdos educacionais online desde 2021.

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