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Exercícios sobre cálculo do limite de uma função (com gabarito)

Confira os exercícios sobre cálculo de limites. Todos eles acompanham gabarito com resolução detalhada, facilitando a compreensão do conteúdo e o desenvolvimento do raciocínio matemático.

Questão 1

Qual o valor do limite limite como x seta para a direita 3 de numerador 1 menos raiz quadrada de 4 menos x fim da raiz sobre denominador x menos 3 fim da fração?

a) 1 meio

b) 3 sobre 4

c) 4 sobre 3

d) 2

Gabarito explicado

Fazendo x igual a 3 no limite obtemos:

limite como x seta para a direita 3 de numerador 1 menos raiz quadrada de 4 menos 3 fim da raiz sobre denominador 3 menos 3 fim da fração igual a 0 sobre 0

Como encontramos uma indeterminação devemos eliminar tal indeterminação multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do denominador.

limite como x seta para a direita 3 de numerador 1 menos raiz quadrada de 4 menos x fim da raiz sobre denominador x menos 3 fim da fração igual a limite como x seta para a direita 3 de numerador 1 menos raiz quadrada de 4 menos x fim da raiz sobre denominador x menos 3 fim da fração sinal de multiplicação numerador 1 mais raiz quadrada de 4 menos x fim da raiz sobre denominador 1 mais raiz quadrada de 4 menos x fim da raiz fim da fraçãolimite como x seta para a direita 3 de numerador 1 menos raiz quadrada de 4 menos x fim da raiz sobre denominador x menos 3 fim da fração igual a limite como x seta para a direita 3 de numerador 1 ao quadrado menos abre parênteses raiz quadrada de 4 menos x fim da raiz fecha parênteses ao quadrado sobre denominador parêntese esquerdo x menos 3 parêntese direito sinal de multiplicação abre parênteses 1 mais raiz quadrada de 4 menos x fim da raiz fecha parênteses fim da fraçãolimite como x seta para a direita 3 de numerador 1 menos raiz quadrada de 4 menos x fim da raiz sobre denominador x menos 3 fim da fração igual a limite como x seta para a direita 3 de numerador x menos 3 sobre denominador parêntese esquerdo x menos 3 parêntese direito sinal de multiplicação abre parênteses 1 mais raiz quadrada de 4 menos x fim da raiz fecha parênteses fim da fraçãolimite como x seta para a direita 3 de numerador 1 menos raiz quadrada de 4 menos x fim da raiz sobre denominador x menos 3 fim da fração igual a limite como x seta para a direita 3 de numerador 1 sobre denominador abre parênteses 1 mais raiz quadrada de 4 menos x fim da raiz fecha parênteses fim da fração igual a numerador 1 sobre denominador 1 mais raiz quadrada de 4 menos 3 fim da raiz fim da fração igual a numerador 1 sobre denominador 1 mais raiz quadrada de 1 fim da fração igual a 1 meio

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Questão 2

Considere a função f dois pontos A seta para a direita B definida por f parêntese esquerdo x parêntese direito igual a raiz quadrada de x ao quadrado mais 3 x fim da raiz menos x, em seu mais amplo domínio, o valor do limite limite como x seta para a direita infinito de f parêntese esquerdo x parêntese direito é igual a:

a) 0

b) infinito

c) 3 sobre 2

d) 3

Gabarito explicado

Como x seta para a direita infinito, substituindo na função vamos obter a seguinte indeterminação matemática:

limite como x seta para a direita infinito de f parêntese esquerdo x parêntese direito igual a infinito menos infinito

Para eliminar esta indeterminação podemos reescrever a função multiplicando numerador e denominador pelo conjugado da função:

limite como x seta para a direita infinito de f parêntese esquerdo x parêntese direito igual a limite como x seta para a direita infinito de numerador raiz quadrada de x ao quadrado mais 3 x fim da raiz menos x sobre denominador 1 fim da fração igual a limite como x seta para a direita infinito de numerador abre parênteses raiz quadrada de x ao quadrado mais 3 x fim da raiz menos x fecha parênteses sinal de multiplicação abre parênteses raiz quadrada de x ao quadrado mais 3 x fim da raiz mais x fecha parênteses sobre denominador 1 sinal de multiplicação abre parênteses raiz quadrada de x ao quadrado mais 3 x fim da raiz mais x fecha parênteses fim da fraçãolimite como x seta para a direita infinito de f parêntese esquerdo x parêntese direito igual a limite como x seta para a direita infinito de numerador 3 x sobre denominador raiz quadrada de x ao quadrado mais 3 x fim da raiz mais x fim da fração igual a infinito sobre infinito

Agora para eliminar a indeterminação da forma infinito sobre infinito basta dividirmos numerador e denominador por x.

limite como x seta para a direita infinito de f parêntese esquerdo x parêntese direito igual a limite como x seta para a direita infinito de numerador 3 sobre denominador raiz quadrada de 1 mais começar estilo mostrar 3 sobre x fim do estilo fim da raiz mais 1 fim da fração

Sabemos que se x seta para a direita infinito então, 3 sobre x seta para a direita 0.

Logo,

limite como x seta para a direita infinito de f parêntese esquerdo x parêntese direito igual a limite como x seta para a direita infinito de numerador 3 sobre denominador raiz quadrada de 1 mais começar estilo mostrar 3 sobre x fim do estilo fim da raiz mais 1 fim da fração igual a numerador 3 sobre denominador raiz quadrada de 1 mais 0 fim da raiz mais 1 fim da fração igual a 3 sobre 2

Questão 3

O valor do limite limite como x seta para a direita infinito de abre parênteses 1 mais 2 sobre x fecha parênteses à potência de 3 x fim do exponencial é igual a:

a) e ao quadrado

b) e ao cubo

c) 3 e ao quadrado

d) e à potência de 6

Gabarito explicado

Aplicando a propriedade de limite de uma potência temos:

limite como x seta para a direita infinito de abre parênteses 1 mais 2 sobre x fecha parênteses à potência de 3 x fim do exponencial igual a abre parênteses limite como x seta para a direita infinito de abre parênteses 1 mais 2 sobre x fecha parênteses à potência de x fecha parênteses ao cubo

A função agora é bem próxima da função do limite fundamental limite como x seta para a direita infinito de abre parênteses 1 mais 1 sobre x fecha parênteses à potência de x igual a e.

Para plicar o limite fundamental vamos fazer uma mudança de variável.

2 sobre x igual a 1 sobre y seta dupla para a direita x igual a 2 y

Reescrevendo o limite temos:

limite como x seta para a direita infinito de abre parênteses 1 mais 2 sobre x fecha parênteses à potência de x igual a limite como y seta para a direita infinito de abre parênteses 1 mais 1 sobre y fecha parênteses à potência de 2 y fim do exponencial igual a abre parênteses limite como y seta para a direita infinito de abre parênteses 1 mais 1 sobre y fecha parênteses à potência de y fecha parênteses ao quadrado igual a e ao quadrado

Substituindo na função original

limite como x seta para a direita infinito de abre parênteses 1 mais 2 sobre x fecha parênteses à potência de 3 x fim do exponencial igual a abre parênteses limite como x seta para a direita infinito de abre parênteses 1 mais 2 sobre x fecha parênteses à potência de x fecha parênteses ao cubo igual a abre parênteses e ao quadrado fecha parênteses ao cubo igual a e à potência de 6

Questão 4

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Aprofunde os seus estudos sobre o assunto: Limite de uma função: o que é e aprenda a calcular (com exercícios).

Confira o índice de exercícios de matemática do 3º ano do ensino médio.

Referências Bibliográficas

MUNEM, Mustafe A.; FOUDBA, David J. Cálculo: um curso moderno e suas aplicações. 4. ed. São Paulo: Pearson, 2008.

ÁVILA, Geraldo. Cálculo. Volume 1. 7. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2012.

GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um curso de cálculo. Volume 1. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2014.

LEITHOLD, Louis. O cálculo com geometria analítica. Volume 1. 5. ed. São Paulo: Harbra, 1994.