Exercícios sobre a relação de Euler (com gabarito resolvido)
A Relação de Euler é uma das mais importantes fórmulas da Geometria Espacial, pois conecta o número de vértices (V), arestas (A) e faces (F) de um poliedro pela expressão V + F = A + 2.
Confira os exercícios resolvidos sobre a Relação de Euler, que ajudam a compreender como essa relação se aplica aos sólidos de Platão, sólidos arquimedianos e outros poliedros.
Questão 1
Os primeiros dados surgiram há mais de 5.000 anos, feitos de ossos e pedras. No RPG moderno, muitos deles são baseados nos sólidos de Platão, pois suas faces são polígonos regulares e idênticos, garantindo equilíbrio no jogo.
Um dos dados mais usados no RPG é o dodecaedro regular (d12). Qual é quantidade de vértices, faces e arestas desse poliedro, respectivamente?
a) 12, 20 e 30
b) 20, 12 e 30
c) 30, 12 e 20
d) 12, 12, 22
Podemos resolver diretamente, sabendo que dodecaedro regular é um sólido de Platão e possui 12 faces pentagonais. Logo, o número de arestas será a quantidade total de lados de todos os 12 pentágonos dividido por 2.
E o número de vértices pode ser encontrado aplicando a Relação de Euler.
Portanto, o número de vértices, faces e arestas, respectivamente são: 20, 12 e 30.
Questão 2
Um poliedro convexo é obtido truncando (substituindo cada vértice cortado por uma nova face poligonal) cada um dos vértices de um octaedro regular. Esse novo poliedro é denominado octaedro truncado ou um Sólido de Arquimedes. O número de vértices desse sólido arquimediano é igual a:
a) 12
b) 18
c) 24
d) 30
O octaedro regular possui 8 faces triangulares, 6 vértices e 12 arestas. Ao truncar todos os seus vértices, em cada um deles uma face quadrangular e as faces restantes que eram triangulares agora são hexagonais.
Assim, o octaedro truncado terá 6 faces quadradas e 8 faces hexagonais totalizando 14 faces.
Questão 3
Um designer de jóias decidiu criar um diamante inspirado em uma pirâmide de base pentagonal regular. Para dar brilho e simetria à pedra ele trunca cuidadosamente todos os vértices da base da pirâmide.
Após os cortes o sólido resultante (diamante) possui no total 5 ângulos triédricos, 5 ângulos tetraédricos e 1 ângulo pentaédrico.
Qual é o total de faces desse diamante?
a) 9
b) 11
c) 13
d) 20
Cada ângulo corresponde a um vértice, portanto temos 
.
Logo,
Usando a Relação de Euler:
Questão 4
A partir de um vértice de um hexaedro regular de aresta 
retira-se um tetraedro com um corte realizado por um plano que intersecta cada uma das arestas na sua terça parte. Repetindo este processo para todos os vértices do cubo, qual será o número de vértices do novo sólido?
a) 48
b) 36
c) 24
d) 12
Como de cada vértice vamos retirar uma pirâmide de base triangular de arestas laterais iguais a 1/3 da aresta do cubo, vão surgir três novas arestas para cada vértice retirado logo,
De cada vértice também surge uma nova face.
Pela Relação de Euler
Questão 5
Em um poliedro convexo o número de faces triangulares é o sextuplo do número de faces hexagonais. Sabendo que o número de vértices é igual do número de faces triangulares, qual é o número de arestas desse poliedro?
a) 12
b) 14
c) 16
d) 24
Pelos dados do enunciado podemos colocar tudo em função do número de faces hexagonais.
Faces hexagonais: 
Faces triangulares: 
Vértices: 
Total de faces: 
Total de arestas: 
Pela Relação de Euler
Questão 6
Um poliedro convexo chamado de rombicuboctaedro possui 18 faces quadrangulares e 8 faces triangulares. Qual o seu número de vértices e arestas, respectivamente?
a) 24 e 48
b) 48 e 24
c) 12 e 16
d) 24 e 36
Questão 7
Uma pirâmide possui um total de 13 faces e altura h. Essa pirâmide foi seccionada por um plano paralelo a base da pirâmide a uma distância h/2 a partir do vértice. Descartando o sólido que continha o vértice da pirâmide obtemos como sólido restante um poliedro que possui k vértices. Qual o valor de k?
a) 16
b) 20
c) 24
d) 28
O sólido resultante será um tronco de pirâmide de bases dodecagonais. Logo,
Questão 8
Podemos usar a Relação de Euler e a soma dos ângulos internos de um polígono para obtermos uma expressão que fornece a soma dos ângulos internos de todas as faces de um poliedro em função do seu número de vértices.
Qual a soma dos ângulos internos de todas as faces de um tetradecaedro que possui 36 arestas ao todo?
a) 
b) 
c) 
d) 
Pela nomenclatura sabemos que o prefixo tetradeca refere-se a 14 faces.
Usando a Relação de Euler teremos:
Mas, a soma dos ângulos internos de todas as faces é dado por:
Continue praticando com exercícios sobre poliedros (com gabarito resolvido) e exercícios de Geometria Espacial (com questões resolvidas).
Referências Bibliográficas
DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto & aplicações. 2. ed. São Paulo: Ática, 2016. v. 3.
IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; DEGENSZAJN, David. Matemática: ciência e aplicações. 9. ed. São Paulo: Atual, 2013. v. 3.
PAIVA, Manoel. Matemática. 2. ed. São Paulo: Moderna, 2016. v. 2.
Exercícios sobre a relação de Euler (com gabarito resolvido). Toda Matéria, [s.d.]. Disponível em: https://www.todamateria.com.br/exercicios-sobre-a-relacao-de-euler-com-gabarito-resolvido/. Acesso em:
