Distância entre dois pontos

Rosimar Gouveia

Professora de Matemática e Física

A distância entre dois pontos é simplesmente uma forma de medir o "espaço" entre esses dois lugares, como se você quisesse saber o quão longe uma casa está de outra. Imagine que você tem um mapa e quer descobrir quão distante uma cidade está da outra.

Em matemática, fazemos isso usando um método bem parecido, só que em vez de medir no mapa, usamos coordenadas numéricas (como se fossem endereços exatos) para calcular a distância entre dois pontos.

Se esses pontos estiverem em um plano, como uma folha de papel, usamos uma fórmula que envolve subtrair os números que representam as posições dos pontos e depois fazer alguns cálculos simples. Se os pontos estiverem no espaço, como no mundo real em 3D, a ideia é parecida, mas com mais um passo para considerar a altura dos pontos.

Resumindo: calcular a distância entre dois pontos é só uma maneira mais precisa de dizer "qual é a distância daqui até lá", mas usando números e fórmulas.

Podemos fazer o cálculo dessa medida usando a Geometria Analítica.

Como calcular a distância entre dois pontos no plano cartesiano

No plano cartesiano, a fórmula para calcular a distância entre dois pontos e é derivada do Teorema de Pitágoras. A distância ???? entre esses pontos pode ser expressa pela fórmula:

Imagine que você tem dois pontos em um papel, e quer saber a distância entre eles. Uma maneira simples de fazer isso é desenhar um triângulo retângulo, onde a linha que liga os dois pontos é a "hipotenusa" (a parte mais longa do triângulo). As outras duas linhas do triângulo, que são perpendiculares entre si, são chamadas de "catetos".

Para calcular a distância entre os dois pontos, o que fazemos é descobrir o comprimento desses dois catetos (que são as diferenças nas coordenadas x e y dos pontos) e depois usar uma fórmula que junta essas duas medidas para encontrar o comprimento da hipotenusa. Esse comprimento é a distância entre os dois pontos. É como se você estivesse usando um método de "desenhar um caminho reto" entre dois lugares e medir esse caminho.

Exemplos:

1) Qual a distância entre o ponto A (1,1) e o ponto B (3,1)?

d(A,B) = 3 - 1 = 2

2) Qual a distância entre o ponto A (4,1) e o ponto B (1,3)?

Note que a distância entre o ponto A e o ponto B é igual a hipotenusa do triângulo retângulo de catetos 2 e 3.

Assim, usaremos o teorema de Pitágoras para calcular a distância entre os pontos dados.

[d(A,B)]² = 3² + 2² = √13

Para saber mais, leia também:

• Geometria Plana
• Plano Cartesiano
• Retas

Como calcular a distância entre dois pontos no espaço tridimensional

Usamos um sistema de coordenadas tridimensional para representar pontos no espaço.

Um ponto fica totalmente determinado no espaço quando existe uma tripla ordenada (x,y,z) associado a ele.

Para encontrar a distância entre dois pontos no espaço, inicialmente podemos representá-los no sistema de coordenadas e a partir daí, efetuar os cálculos.

Exemplo:

Qual a distância entre o ponto A (3,1,0) e o ponto B (1,2,0)?

Nesse exemplo, observamos que o ponto A e B pertencem ao plano xy.

A distância será dada por:

[d(A,B)]² = 1² + 2² = √5

Para saber mais, leia também:

• Geometria analítica
• Geometria Espacial
• Equação da Reta
• Fórmulas de Matemática

Exercícios Resolvidos

1) Um ponto A pertence ao eixo das abscissas (eixo x) e é equidistante dos pontos B (3,2) e C (-3,4). Quais são as coordenadas do ponto A?

2) A distância do ponto A (3,a) ao ponto B (0,2) é igual a 3. Calcule o valor da ordenada a.

3) ENEM - 2013

Nos últimos anos, a televisão tem passado por uma verdadeira revolução, em termos de qualidade de imagem, som e interatividade com o telespectador. Essa transformação se deve à conversão do sinal analógico para o sinal digital. Entretanto, muitas cidades ainda não contam com essa nova tecnologia. Buscando levar esses benefícios a três cidades, uma emissora de televisão pretende construir uma nova torre de transmissão, que envie sinal às antenas A, B e C, já existentes nessas cidades. As localizações das antenas estão representadas no plano cartesiano:

A torre deve estar situada em um local equidistante das três antenas. O local adequado para a construção dessa torre corresponde ao ponto de coordenadas

a) (65 ; 35)
b) (53 ; 30)
c) (45 ; 35)
d) (50 ; 20)
e) (50 ; 30)

Veja também: exercícios sobre distância entre dois pontos

4) ENEM - 2011

Um bairro de uma cidade foi planejado em uma região plana, com ruas paralelas e perpendiculares, delimitando quadras de mesmo tamanho. No plano de coordenadas cartesianas seguinte, esse bairro localiza-se no segundo quadrante, e as distâncias nos
eixos são dadas em quilômetros.

A reta de equação y = x + 4 representa o planejamento do percurso da linha do metrô subterrâneo que atravessará o bairro e outras regiões da cidade.
No ponto P = (-5,5), localiza-se um hospital público. A comunidade solicitou ao comitê de planejamento que fosse prevista uma estação do metrô de modo que sua distância ao hospital, medida em linha reta, não fosse maior que 5 km.
Atendendo ao pedido da comunidade, o comitê argumentou corretamente que isso seria automaticamente satisfeito, pois já estava prevista a construção de uma estação no ponto

a) (-5,0)
b) (-3,1)
c) (-2,1)
d) (0,4)
e) (2,6)

Veja também:

• Exercícios sobre Geometria Analítica
• Exercícios sobre equação da reta resolvidos

Rosimar Gouveia

Bacharel em Meteorologia pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) em 1992, Licenciada em Matemática pela Universidade Federal Fluminense (UFF) em 2006 e Pós-Graduada em Ensino de Física pela Universidade Cruzeiro do Sul em 2011.